Question

收敛数列与有界数列

无穷小数列乘以有界数列还是无穷小数列。我想问，如果一个数列收敛于a，那么这个收敛数列乘以有界数列还是收敛数列吗？如果收敛，那么极限是多少呢？
能写出证明过程吗？

Answer 1

收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

有界数列，是数学领域的定理，是指任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。

扩展资料：

收敛数列与其子数列间的关系：

子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M

若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

如果数列{}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

Answer 2

1、数列收敛与存在极限的关系：

数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；

2、数列收敛与有界性的关系：

数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！

如果数列｛Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

相互关系

收敛数列与其子数列间的关系。

子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M。

若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

Answer 3

首先要搞清楚有界和收敛的概念
数列收敛是说它的极限是a，即无限趋近于a。数列有界是说它的值域控制在一个确定的范围内。反例：当有界数列 {Xn}为摇摆数列时，如0,1,0,1,0,1,0,1…………时相乘后的数列就不在只趋近一个值了，所以不再存在极限，所以也不再是收敛数列

Answer 4

收敛一定有界，有界当然不一定收敛。
单调有界序列收敛在实数列时是成立的，因为这需要利用实数的连续性。
一般的度量空间中不成立，比如有理数列就不成立。

Answer 5

还是收敛数列！有界函数的界是M，则收敛数列的极限是M*a。