Question

设全集为R,已知A={xl-2<x<3},B={xlx^2+2x-8>0},M={xlx^-4ax+3a^2≤0}，若（AUB）在全体实数R的补集包含于M

求实数a的取值范围

Answer 1

一、先求AUB在全体实数R的补集
集合A是清楚的，现在来解集合B。
x^2+2x-8>0,即(x+1)^2>9,亦即：x+1>3或x+1<-3.
故B＝{x|x>2,或x<-4}
把集合A和B标在数轴上，容易得到AUB在全体实数R的补集为：
{x|-4<x<-2}
以下简称此集合为“补集”。
二、分析集合M的性质。
由题给，知：M＝{x|(x-a)(x-3a)≤0}
需要讨论a是大于0,还是小于0，或等于0
1.如果a＝0，则M成为独点集{x|x=0}，“补集”不可能包含于M，故a不为0
2.如果a >0，则M具体化为：M={x|a<x<3a}。这个集合在数轴的正半轴，不可能把“补集”包含在内（因为“补集”位于负半轴），故a不大于0.
3.只能a<0。这时，M具体化为：M={x|3a<x<a}。
三、确定a的范围。
若要“补集”包含于M，即{x|-4<x<-2}包含于{x|3a<x<a}，将这两个集合标在数轴上可以看得分明，必须满足两个条件：a≥－2，且3a≤-4

最终得到a的范围为：-2≤a≤-4/3

Answer 2

已经解决了，一楼的。