Question

已知函数f(x)=e^x/a+a/e^x(a>0)是R上的偶函数，求a的值，证明函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.

Answer 1

由f(-x)=ae^x+1/(ae^x)=f(x)=e^x/a+a/e^x
得a^2e^2x+1=e^2x+a^2
(a^2-1)(e^2x-1)=0
因此只能a^2-1=0
因a>0,故a=1
f(x)=e^x+1/e^x
x>0, e^x>1为增函数，y=x+1/x在x>1时也为增函数，
所以f(x)为增函数。

Answer 2

f'(x)=-e^(-x)+e^x
由x属于（0，+∞），此时，e^x>=e^(-x)
所以f'(x)>0
所以f(x)在（0，+∞）上为增函数。

Answer 3

f(-x)=1/e^x*a+e^x*a=e^x/a+a/e^x=f(x)
又a>0
a=1
f(x)=e^x+1/e^x
f'(x)=e^x+ln(e^x)*e^x=e^x+x*e^x
x>=0,f'(x)>=0
f(x)在[0,+∞)上单调递增，f(x)在[0,+∞)上是增函数