Question

已知椭圆

已知椭圆（x*2/a*2）+（y*2/b*2）=1（a>b>0)的两个焦点分别为F1（-1,0）F2（1，0），点P在椭圆上，且满足/PF1/=2/PF2/,角PF1F2=30°，直线y=kx+m与圆x*2+y*2=6/5相切，与椭圆相交于A,B两点。证明角AOB为定值（O为坐标原点）
各位高手帮帮忙，最好能快点，提示方法也行，谢谢啦！

Answer 1

已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0)的两个焦点分别为F₁(-1,0）F₂（1，0），点P在椭圆上，且满足︱PF₁︱=2︱PF₂︱，∠PF₁F₂=30°，直线y=kx+m与圆x²+y²=6/5相切，与椭圆相交于A,B两点。证明∠AOB为定值（O为坐标原点）
解：c=1，︱F₁F₂︱=2C=2，设︱PF₂︱=m，则︱PF₁︱ =2m，在△PF₁F₂中使用余弦
定理,，得m²=4m²+4-2×2m×2cos30°=4m²+4-4(√3)m
故得3m²-4(√3)m+4=[(√3)m-2]²=0，∴m=2/√3=(2/3)√3.
于是得2a=︱PF₁︱+︱PF₂︱=m+2m=3m=3×(2/3)√3=2√3，故a=√3，a²=3，b²=a²-c²=2；
∴椭圆方程为x²/3+y²/2=1 ...............(1)
直线y=kx+m是圆x²+y²=6/5的切线，故圆心(0，0）到直线kx-y+m=0的距离
d=︱m︱/√(1+k²)=√(6/5)
平方去根号得m²/(1+k²)=6/5，即有5m²=6(1+k²)，5m²-6k²=6............(2)
将直线方程y=kx+m代入椭圆方程得x²/3+(kx+m)²/2=1，展开整理得：
(2+3k²)x²+6kmx+3m²-6=0
设A(x₁，y₁)；B (x₂，y₂)；那么按韦达定理：
x₁+x₂=-6km/(2+3k²)； x₁x₂=(3m²-6)/(2+3k²)；
y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k(x₁+x₂)+2m=-6k²m/(2+3k²)+2m=4m/(2+3k²)
y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²=k²(3m²-6)/(2+3k²)-6k²m²/(2+3k²)+m²
=(3k²m²-6k²-6k²m²+2m²+3k²m²)/(2+3k²)=(2m²-6k²)/(2+3k²)
向量的数量积OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=(3m²-6)/(2+3k²)+(2m²-6k²)/(2+3k²)=(5m²-6k²-6)/)2+3k²)，
由(2)可知：5m²-6k²-6=0，∴恒有OA•OB=0，即恒有OA⊥OB，也就是恒有∠AOB=90°.
于是命题得证。

Answer 2

由F点可知c=1，︱F₁F₂︱=2C=2，设︱PF₂︱=m，则︱PF₁︱ =2m，在△PF₁F₂中使用余弦定理,，得m²=4m²+4-2×2m×2cos30°=4m²+4-4(√3)m
故得3m²-4(√3)m+4=[(√3)m-2]²=0，∴m=2/√3=(2/3)√3.
于是得2a=︱PF₁︱+︱PF₂︱=m+2m=3m=3×(2/3)√3=2√3，故a=√3，a²=3，b²=a²-c²=2；
∴椭圆方程为x²/3+y²/2=1 ...............(1)
直线y=kx+m是圆x²+y²=6/5的切线，故圆心(0，0）到直线kx-y+m=0的距离
d=︱m︱/√(1+k²)=√(6/5)
平方去根号得m²/(1+k²)=6/5，即有5m²=6(1+k²)，5m²-6k²=6............(2)
将直线方程y=kx+m代入椭圆方程得x²/3+(kx+m)²/2=1，展开整理得：
(2+3k²)x²+6kmx+3m²-6=0
设A(x₁，y₁)；B (x₂，y₂)；那么易知
x₁+x₂=-6km/(2+3k²)； x₁x₂=(3m²-6)/(2+3k²)；
y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k(x₁+x₂)+2m=-6k²m/(2+3k²)+2m=4m/(2+3k²)
y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²=k²(3m²-6)/(2+3k²)-6k²m²/(2+3k²)+m²
=(3k²m²-6k²-6k²m²+2m²+3k²m²)/(2+3k²)=(2m²-6k²)/(2+3k²)
向量的数量积OA•OB=x₁x₂+y₁y₂=(3m²-6)/(2+3k²)+(2m²-6k²)/(2+3k²)=(5m²-6k²-6)/)2+3k²)，
由(2)可知：5m²-6k²-6=0，∴恒有向量OA•OB=0，即OA⊥OB，∠AOB=90°，所以角为定值.

Answer 3

三角形PF1F2为直角三角形，可以求出椭圆方程。可以用面积试试，AB对应的高是定值，用AB*高=|OA|*|OB|sinAOB