Question

如图，在平面直角坐标系中，A（4,0），B（0,4）点N为OA上一点，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON.

若点P为第四象限内一动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。

Answer 1

1.证明:OA=OB=4,OA垂直OB,则∠OAB=∠OBA=45°,∠ONB=∠OAB+∠ABN=45°+∠ABN.
又OM垂直BN,则∠OBN=∠MON(均为角BOM的余角).
故∠ONB=45°+∠MON=45°+∠OBN.
∴∠OBN=∠ABN,即BN平分∠OBA.
2.(OM+MN)/BN=1/2.
证明:BN平分∠OBA,则∠OBN=∠ABN=22.5°.
取BN的中点P,连接PO,则PO=BN/2=PB,∠POB=∠OBN=22.5°,∠OPM=45°.
又OM垂直BN,故PM=OM.得:(OM+MN)/BN=(PM+MN)/BN=PN/BN=1/2.

Answer 2

如图，在平面直角坐标系中，A（4,0），B（0,4）点N为OA上一点，OM⊥BN于M，
且∠ONB=45°+∠MON.
（1）求证：BN平分∠OBA；
（2）求（OM+MN）/BN的值；
（3）若点P为第四象限内移动点，且∠APO=135°，问AP与BP是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论.

1）∵ OM⊥BN
∴ ∠MON+∠ONB=90°，
∵∠ONB=45°+∠MON
∴∠MON+45°+∠MON=90°
∴∠MON=22.5°
∵ OA⊥OB
∴ ∠BOM=67.5°
∵ OM⊥BN
∴ ∠OBM=22.5°
∵ OA=OB=4
∴ ∠ABO=45°
∴ ∠ABN=22.5°
∴ ∠ABN=∠OBN
∴ BN平分∠ABO⑵ 取BN中点Q，连接OQ
∵ Q是BN中点
∴ OQ=BQ
∴ ∠BOQ=22.5°
∵ ∠BOM=67.5°
∴ ∠QOM=45°
∴ OM=QM
∴ OM+MN=QM+MN=QN=BN

⑶ ∵∠APO=135°，∠ABO=45°
∴ B、O、P、A四点共圆
∵ ∠AOB=90°
∴ AB是圆的直径
∴ ∠APB=90°
∴ AP⊥BP