Question

在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是BC的中点。 (1)证明：DC=DA=DB.

Answer 1

证明：因为△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，所以AD垂直BC.
又因为Rt△ABC中，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=45°。
所以Rt△ABD和Rt△ACD中各有一个角为45°，所以t△ABD和Rt△ACD都是等腰直角三角形
所以DC=DA=DB。

Answer 2

分析：（1）首先根据线段的垂直平分线的性质可以得到AD=CD，再利用等腰三角形的性质得到∠A=∠ACD，而∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，由此即可得到∠B=∠BCD，再利用等腰三角形的性质即可证明题目结论；
（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O，根据（1）的结论可以得到OM=OP=OF=ON，然后由此可以证明Rt△OKM≌Rt△OKN，然后利用线段性质得到MK=NK，由此可以证明△FKM≌△FKN，然后即可证明题目结论．解答：解：（1）∵ED垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
而∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，
∴DA=DB=DC；

（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，
∵PM⊥FH，PN⊥FG，
∴△MPF和△NPF都是直角三角形；
作线段MF的垂直平分线交FP于点O，
由（1）中所证可知OF=OP=OM；
作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O；
∴OM=OP=OF=ON，
又∵MN⊥FP，
∴∠OKM=∠OKN；
∴PT△OKM≌RT△OKN；
∴MK=NK；
∴△FKM≌△FKN；
∴∠MFK=∠NFK，
即FP平分∠HFG．点评：此题是一个探究性试题，利用第一问的结论解决第二问，实际上很难把两个问题联系起来，只有通