Question

已知数列{an}满足关系式a(n+1)=n/an+2,且a1=2

已知数列{an}满足关系式a(n+1)=n/an+2,且a1=2，
证(1)1+根号n<=an<1+根号(n+1)
(2)根号(n+1)-1<1/a1+1/a2+……+1/an<2[根号(n+3)-3]

Answer 1

a1=2 an为正数列
a(n+1)=n/an+2>2 （n>=1）
a(n+1)=n/an+2<n/2+2 (n>=1)

(an-1)^2=(1+n/2)^2=1+n+n^2/4>n (n>1)
因此 an>1+根号n (n>1)
n=1 a1=2=1+根号1
因此 an>=1+根号n (n.>=1)

a(n+1)=n/an+2<n/(1+根号n)+2=根号n-1+2=1+根号n<1+根号(n+1) (n>=1)
即an<1+根号n
因此 1+根号n<=an<1+根号(n+1)
2 a(n+1)=n/an+2
[a(n+1)-2]/n=1/an

a(n+1)-an=n/an+2-an=[n+2an-an*an]/an=[(n-1)+(1-an)^2]/an>=0
又 an>2 因此an是单调增数列

[a(n+1)-2]/n>[1+根号（n+1）-2]/n=[根号(n+1)-1]/n
an 是单调增数列 1/a1+1/a2+……+1/an>n*1/an=n*[根号(n+1)-1]/n=根号(n+1)-1

[a(n+1)-2]/n<[1+根号（n+2）-2]/n=[根号(n+2)-1]/n
an 是单调增数列 1/a1+1/a2+……+1/an<n*1/a1=n/2
根号(n+1)-1<1/a1+1/a2+……+1/an<n/2
原（2） 右边 n=1 n=2 n=3 n<7时 都是负数 不正确

Answer 2

问老师吧。。看得晕晕的