Question

已知:点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.

⑴如图1，若点O在BC边上，求证：AB=AC
⑵如图2，若点O在△ABC的内部，AB=AC成立吗？请说明理由

Answer 1

过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，
由题意知，OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
∵OE=OF，OB=OC，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠OBE=∠OCF，
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠EBO+∠OBC=∠OCF+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC．

Answer 2

【1】
证法1
连接AO
∵OB=OC
即⊿ABO和⊿ACO等底同高
∴S⊿ABO=S⊿ACO
S⊿ABO=½AB×OE，S⊿ACO=½AC×OF
∵OE=OF
∴AB=AC
证法2
∵∠BEO=∠CFO=90º
OE=OF，BO=CO
∴Rt⊿BEO≌Rt⊿CFO（HL）
∴∠B=∠C
∴AB=AC
【2】
证明
∵∠BEO=∠CFO=90º
OE=OF，BO=CO
∴Rt⊿BEO≌Rt⊿CFO（HL）
∴∠EBO=∠FCO
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB
∴∠EBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB
即∠EBC=∠FCB
∴AB=AC