Question

设函数f(x)在[a,+∞)上连续 并在(a,+∞)内可导 且f'(x)>k(其中k>0) 若f(a)<0 试证f(x)=0在(a,+∞)内有唯一

Answer 1

虽然工作了几年这个题目还是会做的
因为f'(x)>k ,在(a,+∞)一定存在M当x > M时f(x) > 0 ,下证明：
设F(x) = f(x) - kx
F'(x) = f'(x) - k > 0
因此F(x)是递增函数，取M = (ka - f(a) ) / k
F(M) = f(M) - kM > f(a) + ka
f(M) > kM + f(a) + ka = 0
所以 在[M,+∞)时 f(x) > 0 所以一定存在b > 0 使得f(b) > 0
因为函数f(x)在[a,+∞)上连续且f(a) * f(b) < 0 所以在（a,b）存在一点e使得f（e）= 0
由f'(x)>k,f（x）为递增函数，可知x = e是唯一点使得f(x) = 0

Answer 2

f'(x)>0,则有当x2>x1时f(x2)>f(x1)，f(x)为增函数。
f(a)<0，一定有f(x)=0的点。
若存在两个点a2、a1，使f(2)=f(a1)=0，
则与增函数不符，故f(x)=0在(a,+∞)内是唯一的。

Answer 3

因为f'(x)>k>0 所以f(x）在定义域内 严格单调递增。所以一定只有一个零点