Question

高中导数数学题：设a∈R，函数f（x）＝e∧（－x）（x∧2＋ax＋1）。①讨...

高中导数数学题：设a∈R，函数f（x）＝e∧（－x）（x∧2＋ax＋1）。①讨论f（x）在R上的单调性。②－1＜a＜0时，f（x）在［－2，1］上的最小值。

Answer 1

①f(x)=e^(-x)•(x²+ax+1)
f'(x)=-e^(-x)•(x²+ax+1)+e^(-x)•(2x+a)
=-e^(-x)•[x²+(a-2)x+1-a]
=-e^(-x)•(x-1)(x-1+a)
（ⅰ）当a=0时，f'(x)=-e^(-x)•(x-1)²≤0，f(x)为R上的减函数；
（ⅱ）当a>0时，令f'(x)>0,即 (x-1)(x-1+a)<0,解得 1-a<x<1，函数f(x)在[1-a，1]上是增函数，同理，f(x)在(-∞，1-a]和[1，+∞）上是减函数；
（ⅲ）当a<0时，令f'(x)>0,即 (x-1)(x-1+a)<0,解得 1<x<1-a，函数f(x)在[1，1-a]上是增函数，同理，f(x)在(-∞，1]和[1-a，+∞）上是减函数。
②－1＜a＜0时，f（x）在［－2，1］上是减函数，最小值为f(1)=e^(-1)•(a+2)=(a+2)/e

Answer 2

1.求导
f'=e^(-x)(-x^2-a*x-1+2x+a)
令f'(x)=0,求解
2.判别公式=（-a+2)^2-4*(-1)*(a-1)=a^2>=0,
而x^2的系数-1 <0,f'(x)<=0,递减。在x=-2时有最小值