Question

将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图一方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°。

点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F。
（1）求证：AF+EF=DE；
（2）若将图1的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出（1）的结论是否仍然成立；
（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图3.你认为（1）的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF，EF与DE之间的关系，并说明理由。

Answer 1

（1）如图，连接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC=BE，根据直角三角形的“HL”定理，易证△BCF≌△BEF，即可证得；
（2）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AC=AF+CF=AF+EF，即AF+EF=DE；
（3）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF．

解答：（1）证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
在△BCF和△BEF中，
{BC=BE∠BCF=∠BEF=90°BF=BF，
∴△BCF≌△BEF，
∴CF=EF；
（2）AF+EF=DE；
（3）同（1）得CF=EF，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．

不懂再问！！祝您学习进步！！

Answer 2

证明：

（1）       连接BF   ∵△ABC≌△DBE,   ∴BC＝BE, AC＝DE

∵∠ACB＝∠DEB＝90°

∴∠BCF=∠BEF=90°,   ∵BF=BF

∴Rt△BFC≌Rt△BFE     ∴CF＝EF

∵AF＋CF＝AC,          ∴AF＋EF＝DE

(2)如图②。（1）中的结论还成立

（3）不成立。此时AF,EF与DE的关系是AF-EF=DE

理由：连接BF（如图③）

∵△ABC≌△DBE,   ∴BC＝BE, AC＝DE

∵∠ACB＝∠DEB＝90°

∴∠BCF=∠BEF=90°,   ∵BF=BF

∴Rt△BFC≌Rt△BFE     ∴CF＝EF

∵AF-CF=AC,  ∴AF-EF=DE

∴(1)中正确的结论AF-EF=DE 

Answer 3

1）如图，连接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC=BE，根据直角三角形的“HL”定理，易证△BCF≌△BEF，即可证得；
（2）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AC=AF+CF=AF+EF，即AF+EF=DE；
（3）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF．

解答：（1）证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
在△BCF和△BEF中，
{BC=BE∠BCF=∠BEF=90°BF=BF，
∴△BCF≌△BEF，
∴CF=EF；
（2）AF+EF=DE；
（3）同（1）得CF=EF，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．

Answer 4

（1）证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
在△BCF和△BEF中，
，
∴△BCF≌△BEF，
∴CF=EF；

（2）AF+EF=DE；
故答案为：=；

（3）同（1）得CF=EF，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．

Answer 5

（1）如图，连接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC=BE，根据直角三角形的“HL”定理，易证△BCF≌△BEF，即可证得；
（2）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AC=AF+CF=AF+EF，即AF+EF=DE；
（3）同（1）得CF=EF，由△ABC≌△DBE，可得AC=DE，AF=AC+FC=DE+EF．

解答：（1）证明：连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
在△BCF和△BEF中，
{BC=BE∠BCF=∠BEF=90°BF=BF，
∴△BCF≌△BEF，
∴CF=EF；
（2）AF+EF=DE；
（3）同（1）得CF=EF，
∵△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，
∴AF=AC+FC=DE+EF．