Question

如图已知AB是○O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交○O于D,连

AD，当AC的长度为多少是，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似

Answer 1

解：过点O作OE⊥AB于E，
则AE=BE= 12AB，∠OEB=90°，
∵OB=2，∠B=30°，
∴BE=OB•cos∠B=2× 32= 3，
∴AB=2 3；
故答案为：2 3；

（2）连接OA，
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D，
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，
∴∠BOD=2∠DAB=100°；

（3）∵∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC= 12AB= 3．

Answer 2

解：（1）如图，过O作OE⊥AB于E，
∴E是AB的中点，
在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴BE=3，
∴AB=23；

（2）解法一：∵∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D．
∴∠BOD=∠B+∠A+∠D． …（3分）
又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，
∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，…（4分）
∴∠BOD=2∠A=100°．…（5分）
解法二：如图，连接OA．
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D． …（3分）
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，…（4分）
∴∠BOD=2∠DAB=100°（同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）．

Answer 3

解：（1）过O作OE⊥AB于E，
∴E是AB的中点，
在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，
∴BE=根号3，
∴AB=2根号3；

（2）解法一：∵∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D．
∴∠BOD=∠B+∠A+∠D．
又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，
∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°．
解法二：如图，连接OA．
∵OA=OB，OA=OD，
∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，
∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D．
又∵∠B=30°，∠D=20°，
∴∠DAB=50°，
∴∠BOD=2∠DAB=100°。

Answer 4

∠BCO=∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△DAC与△BOC相似，只能∠DCA=∠BCO=90°，
此时∠BOC=60°，∠BOD=120°，
∴∠DAC=60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO=90°，
即OC⊥AB，
∴AC= 1/2*AB=根号3 ．

Answer 5