Question

已知数列{an}中。a1=1,n大于等于2时。其前n项和Sn满足Sn^2=an(Sn-1/2).求证：数列{1/Sn}是等差数列。

Answer 1

由Sn^2=an(Sn-1/2)，两边同时除以Sn，拆开括号，得到Sn=an-an/2Sn，移项，an-Sn=an/2Sn，两边同时除以an，乘以2，得到2(an-Sn)/an=1/Sn，
那么1/(Sn-1)=2[(an-1)-(Sn-1)]/(an-1)，第一个减第二个，得到1/Sn-1/(Sn-1)=2｛an(Sn-1)-(an-1)Sn}/an(an-1)，将Sn=(Sn-1 )+an代入，替换Sn，化简得到1/Sn-1/(Sn-1)=2，所以是公差为2的等差数列。
n和n-1项有点乱。看小心点吧o(︶︿︶)o

追问

设bn=Sn/2n+1.求数列{bn}的前n项和Tn

Answer 2

证明：因为an=Sn-S(n-1)
所以有Sn^2=an*(Sn-1/2)=[(Sn-S(n-1)](Sn-1/2) //n,(n-1)均为下标顺序字母//
Sn^2=Sn^2-Sn/2-S(n-1)*Sn+S(n-1)/2
化简后为 2Sn*S(n-1)=S(n-1)-Sn
两边同除以Sn*S(n-1) 有
2=1/Sn-1/S(n-1)
所以{1/Sn}为公差等于2的等差数列。

Answer 3

bn=1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
Tn=1/2{1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)}
=1/2[1-1/(2n+1)]
=1/2-1/(4n+2)
裂项相消