Question

已知函数f(x)＝x^2-mx-4(2≤x≤4)的最小值为f(a)，其中a∈(2，4)

1. 求m的取值范围
2. 求函数f(x)的最大值g(m)，并画出g(m)的图像

希望有详细解答

Answer 1

f(x)=(x-m/2)²-4-m²/4是开口向上的抛物线
由最小值不在x=2和4处，得2<m/2<4，m∈(4,8)

当2<m/2<3时，f(4)>f(2)为最大值
当3≤m/2<4时，f(2)≥f(4)为最大值
g(m)=4²-4m-4=12-4m,4<m<6
g(m)=2²-2m-4=-2m,6≤m<8

Answer 2

1.(1)若对称轴-(-m)/2<2,即m<4，f(a)=f(2)与a∈(2，4)不符。
(2)若对称轴2《-(-m)/2《4,,即4《m《8,f(a)=f(m/2),4<m<8,
(3)若对称轴-(-m)/2>4,即m>8,f(a)=f(4)与a∈(2，4)不符。
所以4<m<8
2.(1)若对称轴-(-m)/2<2,即m<4，g(m)=f(4)，
(2)若对称轴2《-(-m)/2《4,,即4《m《8，g(m)=max{f(2),f(4)}
(3)若对称轴-(-m)/2>4,即m>8,g(m)=f(2)，

Answer 3

解（1）由题可知函数f(x)对称轴为x=m/2,又最小值在定义域开区间取到，故2<m/2<4 即4<m<8
(2)当m/2=3时，即m=6在x=2 和 x=4处函数f(x)有最大值，且 g(m)=-3m+5=-12
当m/2<3时，即m<6在x=4处函数f(x)有最大值,且g(m)=-4m+12
当m/2>3是，即m>6在x=2处函数f(x)有最大值,且g(m)=-2m
具体图像依照g(x)表达式即可轻松画出