Question

判断并证明函数f(x)=x/(x^2+1) 在(1,+∞)上的单调性

我给算进死胡同了= = 我是这么做的 ，任取x1,x2属于 （1，+∞），x1＜x2
带入化简后是 （x1x2^2+x1-x2x1^2-x2）/[(x1^2+1)(x2^2+1)] 这样可以知道他是减函数，不过我把分子的接着化下去就变成 x1x2(x2-x1)+x1-x2 这样子不就变成负的了吗
现在脑袋已经搞不清楚了。。。高手来 谢谢

Answer 1

f(x1)-f(x2)= （x1x2^2+x1-x2x1^2-x2）/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
任取x1,x2属于 （1，+∞），1<x1＜x2
x1x2-1>0, x2-x1>0,所以
f(x1)-f(x2)= （x1x2^2+x1-x2x1^2-x2）/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
[x1x2(x2-x1)+x1-x2 ]/[(x1^2+1)(x2^2+1)]
=(x1x2-1)(x2-x1)/[(x1^2+1)(x2^2+1)]>0 (怎么能变成负的呢? 是正的！)
于是f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)是单调递减的.

如果学过导数，还可以用导数的符号判断函数的单调性：
f'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2<0, 所以函数f(x)在(1,+∞)上是单调递减的.

Answer 2

上下都除以x，得到 1/(x+1/x) 分母在（1，+∞）是递增的 所以整个函数就是递减的。

Answer 3

单调递减
f‘(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2
在(1,+∞)上分子是负的，所以递减