Question

A是一个n阶矩阵，证明A=0的充要条件是A的转置×A=零向量，实对称矩阵A=0的充要条件是A 的平方=0

Answer 1

（1）必要性：显然成立
充分性：（反证法）假设A非0 用A'表示A的转置
又 因为A'*A=0
所以A*（A'*A）=A*0
所以A=0
得证
（2）必要性：显然成立
充分性：因为A是是对称矩阵
所以A=A'
且又A^2=0
即A*A'=0
有（1）知A=0
得证

Answer 2

必要性是显然的
下面证明充分性
A^TA的第一行第一列的元素0等于A^T的第一行(即A的第一列的元素)分别乘A的第一列的元素的乘积之和，即A的一列元素的平方和. 由此可得A第一列元素全为0，类似地通过A^TA的第二行第二列的元素为0，可以得到A的第二列的元素全为0，类似地可以证明A的第三列，第四列，。。。，第n列的元素都为零.

若A是对称矩阵，则A^TA=A^2. 结合上一小题的结论，本题的结果是显然的.