Question

Rt△ABC中，C=90°，BC=3，AC=4，半径为R的圆C与斜边AB至少有一个公共点，则R的取值为

Answer 1

一、显然，当⊙C与AB相切时，⊙C与AB有一个公共点，令这个公共点为D。
　　∵∠C＝90°、BC＝3、AC＝4，∴容易通过勾股定理算出：AB＝5。
　　∵⊙C与AB相切于D，∴CD⊥AB，∴由三角形面积公式，容易得出：AB×CD＝AC×BC，
　　∴CD＝AC×BC/AB＝4×3/5＝12/5。
　　即：当R＝12/5时，⊙C与AB有一个公共点。

二、当R＜12/5时，⊙C与AB相离，没有公共点。

三、当R＝AC＝4时，⊙C与AB相交于A，此时⊙C与线段AB也有一个公共点。

四、当12/5＜R＜BC＝3时，⊙C与AB在BD上有一个交点，在AD上也有一个交点，
　　∴此时⊙C与线段AB有两个公共点。

五、当3＜R＜4时，⊙C与线段AB在AD上有一个公共点。

六、当R＞4时，⊙C包含△ABC，此时⊙C与线段AB没有公共点。

综上所述，得：满足条件的R的取值范围是［12/5，4］。