Question

设函数f(x)=lg［x+根号下(x^2+1)］ 1.确定函数f(x)的定义域，2.判断函数f(x)的奇偶性 详细过程否则不给分

Answer 1

x+根号下(x^2+1)］ 恒大于零 故函数f(x)的定义域为R
f(x)+f(-x)=lg［x+根号下(x^2+1)]+lg［-x+根号下(x^2+1)］
= lg［x+根号下(x^2+1)］*［-x+根号下(x^2+1)］= lg1=0
故f(x)=-f(-x)
所以函数f(x)为奇函数

追问

lg［x+根号下(x^2+1)］*［-x+根号下(x^2+1)］怎么等于 lg1

追答

[x+根号下(x^2+1)］*［-x+根号下(x^2+1)］=[根号下(x^2+1)］^2-x^2=x^2+1-x^2=1(平方差公式）

Answer 2

[[1]]
∵恒有 x²+1＞x²
∴恒有√(x²+1)＞|x|≥-x
∴恒有x+√(x²+1)＞0
∴对任意实数x∈R.
式子lg[x+√(x²+1)]恒有意义.
∴该函数的定义域为R
[[2]]
由上面可知
√(x²+1)＞|x|≥x
∴-x+√(x²+1)＞0
∴式子lg[-x+√(x²+1)]恒有意义
又[-x+√(x²+1)]×[x+√(x²+1)]=(x²+1)-x²=1
∴x+√(x²+1)=1/[-x+√(x²+1)]
两边取对数,可得
lg[x+√(x²+1)]=lg{1/[-x+√(x²+1)]}=(lg1)-lg[-x+√(x²+1)]=-lg[-x+√(x²+1)
∴恒有lg[x+√(x²+1)]=-lg[-x+√(x²+1)]
即恒有f(x)=-f(-x)
∴由奇函数定义可知
函数f(x)为奇函数