Question

高等数学中有几个小问题不懂，数学系的同学，帮帮忙啊！！

课本中在证明数列极限的惟一性的时候用了反证法，然后设Xn有两个极限，把两个极限说明好后，然后取N=max{N1,N2}，则当…………在这里为什么要取N=max{N1,N2}？
到证明函数极限的时候要取min啊？

Answer 1

1.根据数列极限收敛定义，希望能够找到 Xn的极限值， 前提是当n足够大,，n>N....所以证明唯一性的时候， 我们有了两个 N1 和N2，当n>max(N1,N2), 也就是n>N1, 并且 n>N2..(保证两个前提条件满足) 那么数列Xn 都满足那两个极限条件，
abs(Xn-a)<Epsilon/2, abs(Xn-b)<Epsilon/2, 这里假设 a 和b 是两个不同的极限。
继而推出，
abs(Xn-a-Xn+b)=abs(b-a)<=abs(Xn-a)+abs(Xn-b)<Epsilon/2+Epsilon/2=Epsilon.
也就是 a=b
2. 函数极限中的定义式希望 对给定的足够小得 Epsilon， 去寻找很小的sigma, 使得在x0极小领域内，i.e. when x is in (x0-sigma, x0+sigma), such that abs(f(x)-A)<Epsilon/2.
那么在证明唯一性时，对于两个x0的领域(x0-sigma1, x0+sigma1)，(x0-sigma2, x0+sigma2), 我们希望取较小的领域，（可以理解为取他们的交集，数列的也一样，小小取较小，大大取较大），那么这个新的领域内 abs(f(x)-A)<epsilon/2, abs(f(x)-B)<epsilon/2,
abs(f(x)-A-f(x)+B)=abs(B-A)<=abs(f(x)-A)<+abs(f(x)-B)<epsilon.

由于我的等级太低了，所以没有办法插入 公式，不好意思。不过应该能看的懂吧。。abs是绝对值。

Answer 2

因为第一个不等式是当n>N1时成立，第二个不等式是当n>N2时成立，要想两个不等式同时成立，只有n>max(N1,N2)时才行。函数极限时，是一个要小于a1，一个要小于a2，两个同时成立，就要同时小于a1和a2，故要小于min(a1,a2)

Answer 3

取最大那个（即N），那么n>N时，对两个极限都满足“逼近”条件（即|Xn-a1|<e同时|Xn-a2|<e），于是可以把两个式子放到同一个不等式：|a1-a2|=|Xn-a1-(Xn-a2)|<|Xn-a1|+|Xn-a2|<e.从而|a1-a2|<e.由e是任意小的便知道a1=a2。这里“把两个式子放到同一个不等式”是关键，而这又需要两个式子同时成立。于是便需要N=max{N1,N2}。明白吗？