Question

多元函数微分中做题时遇到“两边求微分”，请问两边不是同时对x求导怎么也行呢？

比如：xe^x-ye^y=ze^z,两边求微分得：(1+x)e^xdx-(1+y)e^ydy=(1+z)e^zdz。我知道隐函数两边求导时是把y当做中间变量，这我会求。但是两边求微分，同时对x，y，z都求导了，怎么可以这样做呢？是根据什么呢？听老师讲了一句好像是根据微分形式不变性，但是具体的能给讲讲吗？

Answer 1

你不该把微分跟求导完全划等号啊，求导是求微分形式每个d之前的系数，所以求导之后还是一个函数，而微分之后就是一个微分形式了。而微分形式不变性直观上理解就是求微分之后不管后面是dx还是dy还是dz，都可以把x，y，z本身看做是自变量，然后是对自变量求微分，即使z是y与x的函数等等。这也是可以两边同时求微分的基础。

追问

可能基础薄弱吧，听得稀里糊涂的，我想可不可以这样理解：等式左边为u，等式右边为v，那么就是u=v，然后两边求微分，就是du=dv，右边当然是直接对z求导了，左边是多元函数，所以是偏导数*dx+偏导数*dy。但是这样想也不知道对不对，也不知道是根据什么。

追答

这样讲吧，右边对ze^z对z求导得到(1+z)e^z，于是右边关于z的微分形式就是(1+z)e^zdz，右边你也可以写成关于x，y的微分形式，这时候，你就是把z=z(x,y)带进去，然后z=z(x,y)微分，得到dz=z_xdx+z_ydy也带进去。这个式子就是关于x跟y的微分形式了，应该跟左边的关于x，y的微分形式相等。