Question

sin^3θ+cos^3θ=1,则sinθ+cosθ=?

过程！

Answer 1

解：
sin³θ+cos³θ = (sinθ+cosθ)(sin²θ-sinθ*cosθ+cos²θ)
= (sinθ+cosθ)*1/2*[3-(sin²θ+2sinθ*cosθ+cos²θ)]
= 1/2*(sinθ+cosθ)*[3- (sinθ+cosθ)²]=1
因此：
(sinθ+cosθ)³ - 3(sinθ+cosθ)+2 =0
==> [(sinθ+cosθ)-1]² * [(sinθ+cosθ)+2]=0
∵|sinθ+cosθ|= √2|sin(θ+π/4)|≤ √2
∴(sinθ+cosθ)+2>0
因此： (sinθ+cosθ)-1=0 ==>(sinθ+cosθ) =1

追问

= (sinθ+cosθ)*1/2*[3-(sin²θ+2sinθ*cosθ+cos²θ)]
这步里面的1/2*[3-(sin²θ+2sinθ*cosθ+cos²θ)]是怎么来的？
谢谢

追答

让你久等了；
sin²θ-sinθ*cosθ+cos²θ =1/2*(2sin²θ-2sinθ*cosθ+2cos²θ)
=1/2*[3(sin²θ+cos²θ)-(sin²θ+cos²θ)-2sinθ*cosθ]
=1/2*[3-(sin²θ+cos²θ+2sinθ*cosθ)]

Answer 2

要使sin^3θ+cos^3θ=1,则其中必定有一个为0，另一个为1，这一点你可以去看看sin和cos的函数图像，不妨设3θ=π/2=90°,或是3θ=-3π/2=-270°，所以sinθ+cosθ=1/2+根号3/2或是1。