Question

过抛物线x^2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线与抛物线分别交与AB两点，(A在y轴左侧)则|AF|/|FB|=?

这是我看到的一个答案，解释下为什么x²-2p/√3 x -p² =0 解得Xa = -p/√3 ，Xb = √3p，b2-4ac后不应该是正负4√3/3吗？

抛物线的焦点 ( 0 , p/2 )
所以直线方程就是 y=1/√3 x + p/2
联立抛物线方程和直线方程 得到 x²-2p/√3 x -p² =0
所以A，B的横坐标分别是（上述方程的两个根）
Xa = -p/√3 ，Xb = √3p
因此 |FA| / |FB| = |Xa| / |Xb| = 1/3

Answer 1

该题用"参数法"较好
解:
∵点A,B 均在抛物线上,
∴可设A(2pa, 2pa²) B(2pb, 2pb²) (a＜b)
又焦点F(0,p/2)
∴三点A, F, B共线
∴由三点共线条件可得
4ab=-1
又直线AB的斜率k=(√3)/3
∴由斜率公式可得
a+b=(√3)/3
结合ab=-1/4 (a＜b)
可得:
a²=1/12
b²=3/4
由抛物线定义可知
|AF|=2pa²+(p/2)=(p/2)×(4/3)
|BF|=2pb²+(p/2)=(p/2)×4
∴|AF|/|BF|=1/3

Answer 2

过抛物线x^2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30的直线
设A(x1,y1) B(x2,y2).
AB的方程为:y=[(根号3)/3]x+p/2
焦点为(0,p/2). 准线方程为:y=-p/2
w自A,B分别向准线做垂线,交准线于C,D.
按定义知:|AF|=|AC|=y1+p/2=[(根号3)/3]x1+p,
|BF|=|BD|=y2+p/2=[(根号3)/3]x2+p, .
|AF|/|BF|={[(根号3)/3]x1+p}/{[(根号3)/3]x2+p} (1)
解方程:x^2=2p{[(根号3)/3]x+p/2}
即:x^2-2p[(根号3)/3]x-p^2=0
得:x1=[(根号3)/3 -(2根号3)/3]p=-[(根号3)/3]p
x2=[(根号3)/3 +(2根号3)/3]p=(根号3)p
代入(1),得:
|AF|/|BF|=(-1/3+1)/(1+1)=1/3

追问

按定义知:|AF|=|AC|=y1+p/2=[(根号3)/3]x1+p,
|BF|=|BD|=y2+p/2=[(根号3)/3]x2+p
如果[(根号3)/3]x1中x1是未知数的化，p是如何由p/2化为p的?

Answer 3

您要表达是什么意思 你的方法没问题啊 楼上的你追问的 是这样 AB的方程为:y1=[(根号3)/3]x1+p/2，带入|AF|=|AC|=y1+p/2=[(根号3)/3]x1+p，还有 你那方法最优 楼上的的都是不最优方法

Answer 4

过抛物线x^2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30愕闹毕哂肱孜锵叻直鸾挥阶B两点，(A在y轴左侧)则|AF|/|FB|=?
设A(x1,y1) B(x2,y2).
AB的方程为:y=[(根号3)/3]x+p/2
焦点为(0,p/2). 准线方程为:y=-p/2
w自A,B分别向准线做垂线,交准线于C,D.
按定义知:|AF|=|AC|=y1+p/2=[(根号3)/3]x1+p,
|BF|=|BD|=y2+p/2=[(根号3)/3]x2+p, .
|AF|/|BF|={[(根号3)/3]x1+p}/{[(根号3)/3]x2+p} (1)
再求交点的横坐标,解方程:x^2=2p{[(根号3)/3]x+p/2}
即:x^2-2p[(根号3)/3]x-p^2=0
解得:x1=[(根号3)/3 -(2根号3)/3]p=-[(根号3)/3]p
x2=[(根号3)/3 +(2根号3)/3]p=(根号3)p
代入(1),得:
|AF|/|BF|=(-1/3+1)/(1+1)=1/3

追问

按定义知:|AF|=|AC|=y1+p/2=[(根号3)/3]x1+p,
|BF|=|BD|=y2+p/2=[(根号3)/3]x2+p,
[(根号3)/3]为什么要乘1乘2?