Question

如图,已知△ABC和△A′B′C′中,AB=A′B′,AC=A′C′,AD和A′D′是BC,B′C′边上的中线,且AD=A′D′

求证:△ABC≌△A′B′C′

Answer 1

分别过B 、B'点作ACA'C'的平行线，与AD、A'D'的延长线相交于点E、E'，
∵AC∥BE,∴∠CAD=∠BED;∠CDA=∠BDE(对顶角），又∵BD=DC（D中点），
∴△ADC≌△BDE(角角边全等），∴BE＝AC、ED＝AD，同理可证△A'D'C'≌△B'D'E',
∴B'E'=A'C',E'D'=A'D'，又∵AD＝A'D',AC=A'C', ∴BE=B'E',AE=A'E'
在三角形ABE和A'B'E'中，AB＝A'B',BE=B'E',AE=A'E',所雀袜以△ABE≌△A'B'E',（边边边全等）肢氏
所以∠BAD＝∠B'A'D',又因为∠CAD=∠BED，所以∠BAC＝∠B'A'C'；三角形ABC和A'B'C'中
AB＝A'B',∠BAC＝∠B'A'顷饥激C',AC=A'C',所以△ABC≌△A′B′C′（边角边全等）

Answer 2

延长AD至点E，使得DE=AD，连接CE（倍长中线），显然△ADB≌△EDC，

同样的延长A′D′至点E′，使得D′瞎逗E′=A′D′，连接C′E′（倍长中线），

显然△A′D′B′≌△E′D′C′

然后证陵神肢出△ACE≌△A′C′E′(SSS)

得到∠E=∠E′,∠EAC=∠E′A′C′

因为∠E=∠BAE=∠B′A′E′=∠尺世E′

所以∠BAC=∠B′A′C′

所以△ABC≌△A′B′C′(SAS)