Question

高一数学 函数的周期性 几道基本例题

1.对于函数f(x）,满足f(x+2)=-f(x)对任意x∈R都成立。
求证：4是f(x)的一个周期

变式:对于函数f(x）,满足f(x+2)=-1/f(x)对任意x∈R都成立。
求证：4是f(x)的一个周期

2.f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=x^2，求f(3.5)

PS：过程越详细越好

Answer 1

1：证：欲证4是f(x)的一个周期，等价于对所有的x∈R有f(x)=f(x+4)
∵f(x)=-f(x+2)
∴f(x+2)=-f(x+4)
∴f(x)=f(x=4)
得证。

变式：同理，∵对所有的x∈R，f(x+2)=-1/f(x),
∴对所有的x∈R,f(x)≠0
∴f(x+4)=-1/f(x+2)=f(x)
得证。

2：证：∵f(x)是偶函数，所以有f(x)=f(-x)
又f(x)以2为周期，所以有f(x)=f(x-2)
∴f(3.5)=f(3.5-2)=f(1.5)=f(1.5-2)=f(-0.5)=f(0.5)=0.5²=0.25

追问

∴f(x+2)=-f(x+4)
∴f(x)=f(x=4)
这步是怎么来的？

Answer 2

因为f(x+2)=-f(x)，以x+2代替x得，f(x+4）=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x),所以4是f(x)的一个周期