Question

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴

施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

Answer 1

（1）M(12,0) ,P(6,6)
(2)因为抛物线的顶点是P(6,6)，所以设抛物线解析式为y=a(x-6)²+6 ，把M(12,0)代入得
a(12-6)²+6=0解得a=-1/6
所以抛物线解析式为y=-1/6(x-6)²+6=-1/6x²＋2x
(3)设三根木杆AB、AD、DC的长度为y
因为点A在抛物线上，所以A（x,-1/6x²＋2x)
所以AB=CD=-1/6x²＋2x AD=BC=OM-2OB=12-2x
所以y=12-2x-1/6x²＋2x-1/6x²＋2x=-1/3x²+2x+12=-1/3（x-3)²+15
所以当x=3时 y最大=15
所以三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是15米

Answer 2

解：（1）M（12，0），P（6，6）

（2）∵顶点坐标（6，6）
∴设y=a（x-6）2+6（a≠0）
又∵图象经过（0，0）
∴0=a（0-6）2+6
∴a=-
1/6
∴这条抛物线的函数解析式为y=-1/6（x-6）2+6，即y=y=-1/6x2+2x；

（3）设A（x，y）
∴A（x，-1/6（x-6）2+6）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=-1/6（x-6）2+6，
根据抛物线的轴对称性，可得：OB=CM=x，
∴BC=12-2x，即AD=12-2x，
∴令L=AB+AD+DC=2[-1/6（x-6）2+6]+12-2x=-13x2+2x+12=-13（x-3）2+15．
∴当x=3，L最大值为15
∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．
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