Question

已知f(x)=2sin(2x+π/6)+a+1(a∈R,a为常数）

(1)若x∈R,求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在[-π/6,π/6]上最大值与最小值之和为3，求a的值；
(3)求(2)条件下f(x)的单调减区间

Answer 1

(1)正周期显然为2π/ω=2π/2=π
(2)单看2sin(2x+π/6)这个函数在[-π/6,π/6]上的极值，解-0.5π<2x+π/6<0.5π
可知-π/3<X<π/6为单调递增的区间
所以f(x)最大值为f(π/6)，最小值为f(-π/6)，算出来分别为a+3和a，所以a显然为0
(3)单调递增区间已经知道了，+π/2就是一个单调递减区间（因为是2x），注意要加上kπ
结果就是π/6+kπ<x<2π/3+kπ (k∈R)

Answer 2

（1）T=2π/2=π
2)当x∈[-π/6,π/6]，2x+π/6∈[-π/6,π/2],则当x=-π/6时，f(x)有最小值=a， 当x=π/6时，f(x)有最大值=a+3，所以2a+3=3，则a=0
(3)由（2）得f(x)=2sin(2x+π/6)+1，令2kπ+π/2≤2x+π/6≤2kπ+π/2,的单调减区间为
[kπ+π/6，kπ+2π/3]