Question

已知f（x）是定义域在R上的函数，且f（x+2）=[1+f（x）]/[1－f（x）]

（1）试证明f（x）是以8为周期的周期函数
（2）若f（4）=－1，求f（2012）

Answer 1

（1）把x=x+2代入f（x+2）=[1+f（x）]/[1－f（x）],
得f(x+2+2)=f(x+4)=[1+f(x+2)]/[1-f(x+2)],
把f（x+2）=[1+f（x）]/[1－f（x）]代入上式，
得f(x+4)=-1/f(x)
再令x=x+4,代入上式，得f(x+8)=f(x)
所以f（x）是以8为周期的周期函数
（2）因为f（x）是以8为周期的周期函数
所以f(2012)=f(4+8*251)=f(4)=-1

Answer 2

f（x+2）=[1+f（x）]/[1－f（x）]
f（x+2+2）=[1+f（x+2）]/[1－f（x+2）]
f（x+4）=[1+[1+f（x）]/[1－f（x）]/[1－[1+f（x）]/[1－f（x）]
f（x+4）=1/f（x）
f（x+4+4）=1/f（x+4）=f（x）
f（x+8）=f（x）
f（x)=f（x+8）f（x）是以8为周期的周期函数
（2）若f（4）=－1，求f（2012）
f（2012）=f（4+251*8）=f（4）=-1

Answer 3

(1)f(x+2)=[1+f(x)]/[1-f(x)] f(x)=[f(x+2)-1]/[f(x)+1]=-[1-f(x+2)]/[1+f(x+2)]
f(x+4)=[1+f(x+2)]/[1-f(x+2)]=-1/f(x)
f(x+8)=-1/f(x+4)=f(x)，所以f(x)是以8为周期的周期函数。
(2)f(2012)=f(251*8+4)=f(4)=-1