Question

如图，MN是圆O的直径，MN＝2，点A在圆O上，角AMN＝30，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，

则PA+PB的最小值是多少？（求证明过程）

Answer 1

如图：做点B关于MN的对称点C，连接AC，其于MN的交点为P，则此时PA+PB最小

证明：在MN上另取一点Q，连接AQ，BQ，CQ

由于B、C关于MN对称，所以BQ=CQ，BP=CP

所以：PA+PB=PA+PC，QA+QB=QA+QC

在△ACQ中，由于两边之和大于第三边，所以：QA+QC > AC=PA+PC

所以，当P为AC与MN的交点时，PA+PB最小

下面求解PA+PB的值

连接AO、CO，由于同弧所对圆心角是圆周角的2倍，所以∠AON=60°，一周为360°，刚好1/6

所以弧AN为1/6圆周，而B是弧AN的中点，所以BN为1/12圆周

B与C关于MN对称，所以弧CN也是1/12圆周

所以弧AC为 1/6 + 1/12 = 1/4圆周，所对的圆周角为 360°/4 = 90°

即：∠AOC=90°

由于OA、OC都是圆的半径，所以OA=OC=MN/2=1

所以在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=2

所以：AC=√2

即：PA+PB=√2 为其最小值

Answer 2

解：设d为圆的直径，圆心为O，点A关于直线MN的对称点为A',连接MA',NA'，设弧A'N的中点为B',连接PB',由对称性，得：AP+BP=AP+B'P,当且仅当A,P,B'三点共线时AP+BP=AP+BP'取得最小值; 易得角B'MN=15度，所以角AMB'=45度，连接AO并延长交圆周于C,则角MAC=30度=角MB'C，因为角AB'C=90度，所以角MB'A=60度，做AD垂直于MB'，垂足为D，由三角函数得AB'=(根号2/2)d 所以PA+PB的最小值为(根号2/2）

Answer 3

解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点．
此时PA+PB最小，且等于AC的长．
连接OA，OC，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=60°，
∴弧AN的度数是60°，
则弧BN的度数是30°，
根据垂径定理得弧CN的度数是30°，
则∠AOC=90°，又OA=OC=1，
则AC=2．

Answer 4

求PA+PB的最小值
作A关于MN的对称点A1，连接A1B交MN于P，则此时PA+PB最小（一条线段）。
下求A1B的长：
设A1A交MN于点U，则角NAU=30°，易知A1A=根号3，AB=1/2，由余弦定理可求得A1B=(根号7)/2
此时PA+PB=A1B

Answer 5

如图：做点B关于MN的对称点C，连接AC，其于MN的交点为P，则此时PA+PB最小
证明：在MN上另取一点Q，连接AQ，BQ，CQ
由于B、C关于MN对称，所以BQ=CQ，BP=CP
所以：PA+PB=PA+PC，QA+QB=QA+QC
在△ACQ中，由于两边之和大于第三边，所以：QA+QC > AC=PA+PC
所以，当P为AC与MN的交点时，PA+PB最小
下面求解PA+PB的值
连接AO、CO，由于同弧所对圆心角是圆周角的2倍，所以∠AON=60°，一周为360°，刚好1/6
所以弧AN为1/6圆周，而B是弧AN的中点，所以BN为1/12圆周
B与C关于MN对称，所以弧CN也是1/12圆周
所以弧AC为 1/6 + 1/12 = 1/4圆周，所对的圆周角为 360°/4 = 90°
即：∠AOC=90°
由于OA、OC都是圆的半径，所以OA=OC=MN/2=1
所以在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=2
所以：AC=√2
即：PA+PB=√2 为其最小值