用定义证明:函数f(x)=x+x分之1在区间[1,正无穷)上是增函数

北极之远
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解:设在[1,﹢∝)的任意两点x1和x2,x1<x2
f(x1)=x1+1/x1 f(x2)=x2+1/x2
f(x1)-f(x2)=x1-x2+1/x1-1/x2=(x2-x1)[1/(x1·x2)-1]
因为x1,x2≧1 则1/x1≤0 1/x2≤0 1/(x1·x2)-1<0
则f(x1)-f(x2)<0
又x1<x2
因此f(x)在该区间内是增函数
2010zzqczb
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设1<=x1<x2,则△x=x2-x1>0
所以△y=(x2+1/x2)-(x1+1/x1)=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)=(x2-x1)(1-1/(x1x2))
因为1<=x1<x2,所以x1x2>1,从而1/(x1x2)<1,所以1-1/x1x2>0,又x2-x1>0,所以△y>0
故函数f(x)=x+x分之1在区间[1,正无穷)上是增函数
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shsycxj
2011-12-10 · TA获得超过1.2万个赞
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设1≤x1<x2≤﹢∞
∵f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)[1/(x1x2)-1]=(x2-x1)(1-x1x2)/(x1x2)
∵1≤x1<x2 ∴x1x2>1 x2-x1>0 1-x1x2<0
∴f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2)
∴函数f(x)=x+1/x在区间[1,﹢∞)上是增函数
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hqbdzh
2011-12-10 · TA获得超过183个赞
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证明:
设x2>x1>=1,则f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-x1-1/x1=(x2-x1)(1-1/x1*x2),由条件x2>x1>=1,即x1x2>1,1-1/x1*x2>0,x2-x1>0,所以(x2-x1)(1-1/x1*x2)>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在区间[1,正无穷)上是增函数
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