Question

用定义证明：函数f(x)=x+x分之1在区间[1,正无穷)上是增函数

Answer 1

解：设在[1,﹢∝)的任意两点x1和x2，x1＜x2
f(x1)=x1+1/x1 f(x2)=x2+1/x2
f(x1)-f(x2)=x1-x2+1/x1-1/x2=(x2-x1)[1/(x1·x2)-1]
因为x1,x2≧1 则1/x1≤0 1/x2≤0 1/(x1·x2)-1＜0
则f(x1)-f(x2)＜0
又x1＜x2
因此f(x)在该区间内是增函数

Answer 2

设1<=x1<x2，则△x=x2-x1>0
所以△y=(x2+1/x2)-(x1+1/x1)=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)=(x2-x1)+(x1-x2)/(x1x2)=(x2-x1)(1-1/(x1x2))
因为1<=x1<x2，所以x1x2>1，从而1/(x1x2)<1，所以1-1/x1x2>0，又x2-x1>0，所以△y>0
故函数f(x)=x+x分之1在区间[1,正无穷)上是增函数

Answer 3

设1≤x1＜x2≤﹢∞
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)
＝(x2－x1)[1/(x1x2)－1]＝(x2－x1)(1－x1x2)/(x1x2)
∵1≤x1＜x2 ∴x1x2＞1 x2－x1＞0 1－x1x2＜0
∴f(x1)－f(x2)＜0 即 f(x1)＜f(x2)
∴函数f(x)＝x＋1/x在区间[1，﹢∞)上是增函数

Answer 4

证明：
设x2>x1>=1,则f(x2)-f(x1)=x2+1/x2-x1-1/x1=(x2-x1)(1-1/x1*x2),由条件x2>x1>=1,即x1x2>1,1-1/x1*x2>0,x2-x1>0,所以(x2-x1)(1-1/x1*x2)>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在区间[1,正无穷)上是增函数