Question

（2007•兰州）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A（x0，0）和点B（2，0），与y轴的正半轴交于点C

已知抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A（x0，0）和点B（2，0），与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x=-1，tan∠BAC=2，点A关于y轴的对称点为点D．
（1）确定A、C、D三点的坐标；
（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）若过点（0，3）且平行于x轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式；
（4）当 ＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．

Answer 1

1、（1）根据抛物线的对称性知，AB的中点在对称轴上，由中点公式得
（xo+2）/2= -1解得xo= -4，所以A（-4，0），D（4，0）
tan∠BAC=2得OC=8，所以C（0，8）

（2）所求抛物线过点B（2，0）、D（4，0），可设其为y=k(x-2)(x-4)，
将点C（0，8）代入求得k=1，故所求抛物线为
y=(x-2)(x-4)即
y=x²-6x+8

（3）过点（0，3）且平行于X轴的直线为y=3，将其与抛物线y=x²-6x+8联立求得交点
M（1，3）、N（5，3）
所以MN=5-1=4
若以MN为底，则平行四边形的高为∣y-3∣，所以
S=MN*∣y-3∣=4*∣y-3∣

（4）S=4*∣y-3∣=4*∣x²-6x+8-3∣=4*∣x²-6x+5∣
由二次函数的性质知，
当0.5<x<2时，x²-6x+5>0且递减，所以
S=4（x²-6x+5），在x=0.5时，S取得最大值9；
当2≤x<4时，x²-6x+5<0，所以
S= -4（x²-6x+5），在对称轴x=3时，S取得最大值16；
综合两种情况知，当0.5<x<4时，平行四边形的面积有最大值，在x=3时，S取得最大值16。

Answer 2

1、（1）根据抛物线的对称性知，AB的中点在对称轴上，由中点公式得
（xo+2）/2= -1解得xo= -4，所以A（-4，0），D（4，0）
tan∠BAC=2得OC=8，所以C（0，8）

（2）所求抛物线过点B（2，0）、D（4，0），可设其为y=k(x-2)(x-4)，
将点C（0，8）代入求得k=1，故所求抛物线为
y=(x-2)(x-4)即
y=x²-6x+8

（3）过点（0，3）且平行于X轴的直线为y=3，将其与抛物线y=x²-6x+8联立求得交点
M（1，3）、N（5，3）
所以MN=5-1=4
若以MN为底，则平行四边形的高为∣y-3∣，所以
S=MN*∣y-3∣=4*∣y-3∣

（4）S=4*∣y-3∣=4*∣x²-6x+8-3∣=4*∣x²-6x+5∣
由二次函数的性质知，
当0.5<x<2时，x²-6x+5>0且递减，所以
S=4（x²-6x+5），在x=0.5时，S取得最大值9；
当2≤x<4时，x²-6x+5<0，所以
S= -4（x²-6x+5），在对称轴x=3时，S取得最大值16；
综合两种情况知，当0.5<x<4时，平行四边形的面积有最大值，在x=3时，S取得最大值16。