Question

在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为根号2的正方形，侧棱和底面垂直且长为根号3,EF分别是AB1，CB1的中点

求证平面D1EF垂直AB1C

Answer 1

如图，D1P＝D1EF∩DBB1D1,从对称性 D1P⊥EF﹙∵EF⊥DBB1D1,﹚

∠D1A1E＝90º    A1E＝AB1/2＝√5/2

D1E＝D1F＝√﹙A1D1²+A1E²﹚＝√13/2

EP＝AC/4＝1/2    ∴D1P＝√﹙D1E²-EP²﹚＝√3

D1B1＝2    B1P＝B1O/2＝1   B1P²+D1P²＝4＝D1B1²   ∴D1P⊥B1O

∵D1P⊥EF   D1P⊥B1O  ∴D1P⊥AB1C    D1P∈D1EF    ∴平面D1EF⊥平面AB1C