Question

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD， ∠CAD=30° （Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体AB...

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD， ∠CAD=30°
（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．
（Ⅱ）若二面角C-AB-D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

Answer 1

解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，
所以DF⊥AC．
故由平面ABC⊥平面ACD，
知DF⊥平面ABC，，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，
AF=ADcos30°=3，
在Rt△ABC中，因AC=2AF=23，AB=2BC，
由勾股定理易知BC=2155，AB=4155．
故四面体ABCD的体积V=13•S△ABC•DF=13×12×4155×2155=45．
（II）设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG∥AD，GH∥BC，
从而∠FGH是异面直线AD与BC所成角或其补角．
设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，
又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，
所以∠DEF为二面角C-AB-D的平面角，由题设知∠DEF=60°．
设AD=a，则DF=AD•SsinCAD=a2，
在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF=a2•33=36a，
从而GH=12BC=EF=36a，因Rt△ADE≌Rt△BDE，
故在Rt△BDF中，FH=12BD=a2．
又FG=12AD=a2，从而在△FGH中，因FG=FH，
由余弦定理得cosFGH=（FG²+GH²—HF²）÷（2FG×GH）=六分之根号三

Answer 2

无图无真相

Answer 3

图呢

Answer 4

1