Question

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)的下、上顶点分别为B1，B2

若点P为椭圆上一点，且直线PB1,PB2的斜率分别为1/4和-1，则椭圆的离心率为?
求过程~

Answer 1

设B1（0，-b),B2(0,b),
P(x0,y0),
(y0-b)/x0=-1,(1)
(y0+b)=1/4,(2)
(1)+(2)式，
2y0/x0=-3/4,
y0/x0=-3/8,(3)
y0=-3x0/8,(4)
代入（1）式，
-3/8+b/x0=-1,
b/x0=5/8,
x0=-8b/5,
x0^2/a^2+(-3x0/8)^2/b^2=1,
x0^2[1/a^2+(9/64)/b^2]=1,
(-8b/5)^2[1/a^2+(9/64)/b^2]=1,
(64/25)(b^2/a^2+9/64]=1,
(64/25)(a^2-c^2)/a^2+9/25=1,
64[1-(c/a)^2]+9=25,
64-64e^2+9=25,
e^2=3/4,
∴离心率e=√3/2。

Answer 2

设P(x,y) B1(0,-b) B2(0,b)
kPB1=(y+b)/x=1/4 4y+4b=x
kPB2=(y-b)/x=-1 y-b=-x y=-3b/5 x=8b/5 代入椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1中，得
64b^2/25a^2+9/25=1
64b^2/25a^2=16/25
a^2=4b^2
a^2=b^2+c^2 c^2=3a^2/4
c^2/a^2=3/4
e=c/a=√3/2