Question

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD最小面积

（原题：过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD最小面积是多少？）。
答案是8/3。用斜率做是8/3；为什么用极坐标做出来的结果是2√2，答案是错的，但附图的解题过程看不出有什么问题？

Answer 1

过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P:x^2/2+y^2=1交于A、C与B、D，则四边形ABCD最小面积
解析：任意四边形面积S=d1d2/2*sinθ
其中，d1,d2为对角线长，θ为对角线夹角
∵d1⊥d2
∴S=d1d2/2
∵d1>0,d2>0
D1+d2>=2√(d1d2),即当d1=d2时取最小
也即要使S最小，当d1=d2时取最小
此时OA=OB=OC=OD
令x=y,由椭圆得3/2*x^2=1==>x=±√6/3
此时四边形ABCD为正方形，边长为2√6/3
∴S=(2√6/3)^2=8/3

你的做法是错的，由图片可知
A(√2cosα,sinα), B(√2cos(90+α),sin(90+α))
设置是错的，因为A,B在椭圆上位置不同，坐标不同，所以近它做，肯定是错的。