Question

设原命题是：“已知函数f(x)是R上的增函数，”若a+b＞0则f(a)+f(b)＞f(-a)+f(-b)

写出它的逆命题，否命题，逆否命题。并分别判断它们的真假，如果为真，给出证明；如果为假，说明理由。

大家帮帮忙，坐等啊……

Answer 1

命题：若a+b≥0，则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
逆否命题：若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)，则a+b<0
逆命题：若f[a]+f[b]≥f[-a]+f[-b]则a+b≥0
否命题：若a+b<0，则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)
以上全是真命题。

逆否命题与原命题真假相同，所以判断逆否命题的真假可以直接判断原命题的真假
否命题与逆命题真假相同，所以判断否命题的真假可以直接判断逆命题的真假

下面先证明原命题：
因为a+b≥0，所以a大于等于-b，由于f（x）为增函数，所以f(a）≥f(-b).
因为a+b≥0，所以b大于等于-a，由于f（x）为增函数，所以f(b)≥f(-a）
所以f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).

下面证明逆命题：
若a+b<0
则由a<-b可得f[a]<f[-b]
由b<-a可得 f[b]<f[-a]
得f[a]+f[b]<f[-a]+f[-b]
所以逆命题成立。