Question

已知向量a=(x,1),b=(1,-sinx)，函数f(x)=ab

已知向量a=(x,1),b=(1,-sinx)，函数f(x)=ab
（1） 若X属于[0，π]，试求函数f(x)的值域
（2） 若 Θ为常数，且Θ属于（0，π），设g(x)=[2f(Θ)+2f(x)]/3 - f[(2Θ+x)/3)],x属于 [0，π]，请讨论g(x)的单调性,并判断g(x)的符号。

注：π为圆周率，输入法打出来好像有点不清楚。

要详细的解答过程，谢谢。记得要非常详细的。
采纳最详细排版清晰的为最佳答案，而且追加30-50分。
题目的确有个地方打错了，（2）中的g(x)=[2f(Θ)+2f(x)]/3 - f[(2Θ+x)/3)]有个地方打错，应是g(x)=[2f(Θ)+f(x)]/3 - f[(2Θ+x)/3)]

多了个2.已修改。

Answer 1

首先,这题有点问题,估计是多打了个2，改动后解题过程如下:
(1) f(x)=x-sinx
f′(x)=1-cosx≥0 ,所以f(x)递增
当0≤x≤π时，f(0)≤f(x)≤f(π)
所以值域为 [0 ，π]
(2) g(x)=(2f(θ) +f(x))/3-f((2θ+x)/3)
g′(x)= f′(x)/3- f′((2θ+x)/3)/3
由于f′′(x)=sinx≥0（0≤x≤π）所以f′(x)在[0 ，π]递增
令g′(x)＞0 ,即f′(x)＞ f′((2θ+x)/3)
由f′(x)在[0 ，π]递增得:x＞(2θ+x)/3 所以x＞θ
所以 g(x)在（θ，π）递增
同理 g(x)在（0，θ）递减
在x=θ处有最小值g(θ)=0
所以g(x) ≥0

Answer 2

jk