Question

椭圆问题，求详解，接的好的可以加分哦，谢谢

已知椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的的根号3倍.其上一点到右焦点的最短距离是根号3-根号2
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若直线l：y+kx+m与圆O：x^2+y^2=3/4相切，且交椭圆C于A,B两点，求当△AOB面积最大时直线l的方程

Answer 1

已知椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的的根号3倍.其上一点到右焦点的最短距离是根号3-根号2
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若直线l：y+kx+m与圆O：x^2+y^2=3/4相切，且交椭圆C于A,B两点，求当△AOB面积最大时直线l的方程
【解】（1）求椭圆C的标准方程
设椭圆C的方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1，由于焦点在x轴上，所以：a>b，由此：a=√3b
当下要求椭圆方程，就是要求a和b的大小。如此还要关于a和b的关系式。只有条件“其上一点到右焦点的最短距离是根号3-根号2”
这个椭圆上的点在哪里？显然应该为右边x轴上的顶点（a,0），为什么？椭圆上一点到两个焦点距离和为定值，如此只有这个点到左焦点的距离最大时，它到右焦点的距离才会最小。
即：a-c=√3-√2
又：c^2=a^2-b^2
可以求的：a=√3,b=1所以椭圆方程为：x^2/3+y^2/1=1
（2）若直线l：y+kx+m与圆O：x^2+y^2=3/4相切，且交椭圆C于A,B两点，求当△AOB面积最大时直线l的方程
我不知道直线方程是y+kx+m=0还是y+kx=m，不过从你的表达来看应该是前者。就用前者来做。
肯定要用点到直线的距离公式，也想将k和m都求出来，不过没有可能，两个未知量，只有一个方程，这是不能够实现的，那就求一个关于k和m的关系吧。
|m|/√（1+k^2）=3/4，这是直线与圆相切的条件，不过绝对值讨厌，平方去掉绝对值
得：4m^2-3k^2-3=0
下面将直线方程代入椭圆中：（下面做起来很不舒服，你还是再核对一下题目吧！）