Question

求出同时满足下列条件的双曲线方程：(1)、渐近线方程为x+2y=0，x-2y=0。 (2)、点A（5，0）到双曲线上动点P

求出同时满足下列条件的双曲线方程：(1)、渐近线方程为x+2y=0，x-2y=0。 (2)、点A（5，0）到双曲线上动点P的距离最小值为根号6。

Answer 1

解答：解：由渐近线方程为x±2y=0，设双曲线方程为x2-4y2=m，∵点A（5，0）到双曲线上动点P的距离的最小值为
6
，
说明双曲线与半径为
6
的圆A相切，
∵圆A方程为（x-5）2 y2=6，与x2-4y2=m联立消去y得：4（x-5）2 x2=24 m 化简得到：5x2-40x 76-m=0，△=402-4×5×（76-m）=0，
解得m=-4 所以满足条件的双曲线方程为x2-4y2=-4，
即y2-
x2
4
=1．
或者双曲线的顶点在（5
6
，0）渐近线为x±2y=0，双曲线方程为：
x2
31 10
6
-
4y2
31 10
6
=1．
所以所求双曲线方程为：y2-
x2
4
=1，
x2
31 10
6
-
4y2
31 10
6
=1．

Answer 2

因为双曲线渐近线方程为 x±2y=0，所以 设所求双曲线方程为 x^2-4y^2=k。
设P（x，y）是双曲线上任一点，则
4|PA|^2=4(x-5)^2+4y^2=4x^2-40x+100+x^2-k=5(x-4)^2+20-k，
由已知，当 x=4 时，20-k=4*6=24，所以 k=-4，
因此，所求双曲线方程为 x^2-4y^2=-4，
即 y^2-x^2/4=1 。