Question

已知关于x的方程2sin(x+（π/3）)+a=0在区间[0,2π]有且只有两个不同的实数根(1)求实数a的取值范围(2)求这

已知关于x的方程2sin(x+（π/3）)+a=0在区间[0,2π]有且只有两个不同的实数根
(1)求实数a的取值范围
(2)求这两实根之和

Answer 1

这题不大好口述，我又不会画图，只能把意思尽量传递清楚
第1问：原方程可转化为：sin(x+π/3)=-a/2,由此可将题设条件用画图的语言转述出来：想要达到原题设条件，只要满足正弦函数y=sin(x+π/3)和直线函数y=-a/2在[0,2π]上有且只有两个不同的交点即可，y=sin(x+π/3)是由基本正弦函数y=sinx向X轴左移π/3个单位得来，楼主可自己画图明示，我在这里大致描述一下这个函数的一些关键点，即函数y=sin(x+π/3)在[0,2π]上与y轴交于（0,根号3/2）这个点，并且在π/6处取得最大值1，在7π/6处取得最小值-1，在2π/3和5π/3两个地方y值为0，即与x轴相交，并在2π处取值根号3/2.
直线函数y=-a/2即为一条平行于x轴的直线，它其上每一个点的纵坐标都为-a/2,由于a值不固定，故此直线函数为一束平行于x轴的直线束
现在考察直线函数与y=sin(x+π/3)的关系，后者是固定的，故只需通过画图观察即可确定a的范围，假设-a/2由很小开始变化，也就是从无限靠近坐标下方方位开始向y轴正方向上移，可以观察到，当直线与正弦函数相切于其波谷位置
（7π/6，-1）时，两者只有一个交点，此时-a/2=-1,得出a=2，不符合题设，继续直线y=-a/2的上移，只需稍微上移一个小量，使-a/2大于-1，就可使两者之间恰好有两个交点，继续上移，直至-a/2等于根号3/2，此时两者之间相交于3个点,故而在-a/2处于（-1，根号3/2）这个区间，满足切好有两个交点的条件，此时a的取值范围可由上述不等式得到为（-根号3,2），而如果直线y=-a/2再继续上移，则直至y=1前仍然都和正弦函数有两个交点，而当-a/2=1时，只有一个交点，这段过程中-a/2满足区间（根号3/2,1），得出a的取值范围是（-2，-根号3），综上两种情况，当a属于（-2，-根号3）和（-根号3,2）这两个范围时，满足题设！
第2问，分成两种情况，当a取（-2，-根号3）这个范围时，由图可知，此时两个函数的交点恰好以x=π/6为对称轴位于其两侧，（无论a具体取哪个范围内的值都可以观察到这个结果，由图很容易辨别出！），所以两个实根的和等于2倍的π/6,也就是π/3.
当a取（-根号3,2）时，同样可以看出两个交点分别对称的位于对称轴x=
7π/6的两侧，所以两个实根的和等于2倍的7π/6，也就是7π/3！
楼主，我不知你的水平如何，总之通过这道题，我希望你明白画图的重要性！有时候做题只需要画图就可很清晰的反映出结果，祝你好运！

追问

你这不是直接复制么？

Answer 2

1、
sin(x+pi/3)=-a/2在[0, 2pi]间只有两个不同根，、
说明sin(pi/3)=3^0.5/2<-a/2<1或-1<-a/2<sin(pi/3)=3^0.5/2
解得-2<a<-3^0.5或-3^0.5<a<2
2、
显然x1+pi/3和x2+pi/3关于x=pi/2或x=3pi/2对称
所以x1+x2+2pi/3=pi或3pi
则两根和为pi/3或7pi/3

追问

3^0.5/2？看不懂

追答

3^0.5就是根号3

Answer 3

x+π/3∈[π/3,7π/3]
sin(x+π/3)=-a/2
画图可知,-a/2∈(-1,1)且-a/2≠sin(π/3)=根号3/2
a∈(-1,根号3)∪(根号3,1)

a∈(-1,根号3)时x1+π/3+x2+π/3=3π,x1+x2=7π/3
a∈(根号3,1)时x1+π/3+x2+π/3=π,x1+x2=π/3

Answer 4

（1）原方程可化为：sin(x+60)=-a/2, 故-1<a/2<1且a不等于0，-2<a<2且a不等于0
（2）两根之和等于30°或60°。

追问

详细一点呢？