已知三角形ABC的三边为a.b.c,并且a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ca

求证此三角形为等边三角形... 求证 此三角形为等边三角形 展开
我不是他舅
2011-12-17 · TA获得超过138万个赞
知道顶级答主
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a²+b²+c²=ab+bc+ca
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
两边乘2
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0,相加等于0,若有一个大于0,则至少有一个小于0,不成立。所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c,c=a
所以a=b=c
所以是等边三角形
海语天风001
高赞答主

2011-12-17 · 你的赞同是对我最大的认可哦
知道大有可为答主
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证明
∵(a-b) ²=a²+b²-2ab
(b-c) ²=b²+c²-2ac
(c-a) ²=a²+c²-2ac
∴ (a-b) ²+(b-c) ²+(c-a) ²
=2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca
=2(a²+b²+c²)-2(ab+bc+ca)
∵a²+b²+c²=ab+bc+ca
∴(a-b) ²+(b-c) ²+(c-a) ²=0
∴a=b,b=c,c=a
∴a=b=c
∴此三角形为等边三角形
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长官历代6b2330
2011-12-17 · TA获得超过1618个赞
知道小有建树答主
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证明
a²+b²+c²=ab+bc+ca
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
a²-ab+ac+b²+c²-bc=0
化为:
a²-(b+c)a+(b²+c²-bc)=0
解a= { (b+c)+√[(b+c)²-4(b²+c²-bc)] }
/2或= { (b+c)-√[(b+c)²-4(b²+c²-bc)] }
/2
故化√里有(b+c)²-4(b²+c²-bc)= -3(b-c)²≥ 0,在-3(b-c)²≥ 0式中显然看出只有b=c,a才有实数解。
同理解关于b²-(a+c)b+a²+c²-ac=0 得a=c, b才有实数解。故a=b=c,故为等边三角形
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