Question

已知P（m,a）是抛物线y=ax2上的点，且点P在第一象限。

（1）求m 的值；
（2）直线y=kx+b过点P，交x轴的正半轴于点A，交抛物线于另一点M；
①当b=2a时，∠OPA＝900是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，举出一个反例说明；②当b=4时，记△MOA的面积为S，求　1/s　的最大值。

Answer 1

解：（1）m²a=a（a＞0），
m²=1（m＞0），
即m=1；


（2）①b=2a，y=kx+2a，
P在直线上，则a=k+2a，即a=-k（k＜0）
则kx+2a=0，即x=-2ak＝−−2kk=2，
A（2，0）
-kx²=kx-2k⇒x²+x-2=0⇒（x+2）（x-1）=0，x=-2或x=1
M（-2，4a）
∠OPA=90°
即a²=1，a=1
k=-1，y=-x-2，y=x²
P（1，1）
故当a=1时，∠OPA=90°成立，即当a＞0且a≠1时，∠OPA=90°不成立；

②当b=4时，直线y=kx+b即为直线y=kx+4，
kx+4=0⇒x=-4k
又∵直线y=kx+4过点P（1，a），
∴k+4=a⇒k=a-4，
（a-4）x+4=ax²
即ax²-（a-4）x-4=0
即（ax+4）（x-1）=0
∴S=44−a•16a•12=324a−a2
1S=18a-132a²=-132（a-2）²+18，
∴当a=2时，1S_max=18．

Answer 2

1）a=a*m^2 所以m=1或者m=-1 又因为在第一象限 所以m=1
（2）根据图像可知 k<0 b>0 b= -k+a