Question

如图:AB是圆O的直径,C是圆O上一点,过点C的切线与AB延长线交于点D,CE//AB交圆O于点，求证:（1）∠DCB=∠CAB

如图:AB是圆O的直径,C是圆O上一点,过点C的切线与AB延长线交于点D,CE//AB交圆O于点，求证:（1）∠DCB=∠CAB（2）CD.CE=CB.CA

Answer 1

（1）连接OC，因为C是圆O上一点，CD是圆O的切线，
所以∠DCO=90度，∠ACB=90度，
所以∠DCB=∠DCO-∠OCB=∠90度-∠OCB，
∠CAB=180度-∠ACB-∠CBA=∠90度-∠CBA
又因为OC=OB，所以∠OCB=∠OBC
所以∠DCB=∠CAB
（2）因为CE//AB，所以∠ECB=∠CBD，∠AEC=∠ECB，∠EAB=CBA
所以∠AEC=∠CBD，而∠EAC=∠EAB-∠CAB，∠CDB=∠CBA-∠DCB，
又因为∠DCB=∠CAB
所以三角形ECA与三角形BCD相似，
所以CE/CB=CA/CD，即CD.CE=CB.CA

Answer 2

证明：(1)连OC,
DC切圆O于C,∴OC⊥DC
∠DCB+∠BCO=90°
∠ACO+∠BCO=90°
∴∠DCB=∠ACO
OC=OA∴∠ACO=∠CAO
∴∠DCB=∠CAO(即∠CAB)
(2)∠DCB=∠CAB
CE∥AB⇒∠ACE=∠CAB
∴∠DCB=∠ACE
∠DBC=∠AEC(圆内接四边形的一个外角等于它的内对角)
∴△DCB∼△AEC
∴CB/CE=CD/CA
∴CD•CE=CB•CA