Question

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c；a=2bsinA,则cosA+sinC的取值范围为______

Answer 1

a=2bsinA.
a/sinA=2b，由正弦定理得a/sinA=b/sinB
sinB=1/2
因为是锐角Δ
所以B=30， A+C=150
cosA+sinC=cosA+sin（150-A)=cosA+sin(A+30)=1.5cosA+√3/2sinA=√3sin（A+60）
因为是锐角Δ，所以A为锐角，所以A+60在（60，150）
所以当A+60=90时，cosA+sinC有最大值√3
当A+60=150时，cosA+sinC有最小值√3/2
所以cosA+sinC的取值为（√3/2，√3]

Answer 2

因为是锐角Δ,B=30
同上，cosA+sinC=cosA+sin（150-A)=cosA+sin(A+30)=1.5cosA+√3/2sinA=√3sin（A+60
因为是锐角Δ，所以A+B>90,s所以60<A<90，所以A+60在（120，150）
所以当A+60=120时，cosA+sinC有最大值3/2
,当A+60=150时，cosA+sinC有最小值√3/2
所以cosA+sinC的取值为(√3/2,3/2)

Answer 3

解答：解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，
由△ABC为锐角三角形得．
（Ⅱ）===．
由△ABC为锐角三角形知，＜A＜．，
所以．
由此有，
所以，cosA+sinC的取值范围为．

Answer 4

∵a=2bsinA

b/sinB=a/sinA=2b

sinB=1/2

B=30°,或150°
所以:cos[(B/2)-45°]=cos(-30°)=√(3)/2

或,cos[(B/2)-45°]=cos(30°)=√(3)/2

cosA+sinC=sin(90°-A)+sinC=2sin[45°-(A-C)/2]*cos[45°-(A+C)/2]

=2sin[45°-(A-C)/2]*cos[(B/2)-45°]

=√(3)*sin[45°-(A-C)/2]
当(A-C)/2=-45°, C-A=90°,cosA+sinC为最大值:√(3)
A-C=(A+C)-2C=180°-B-2C<180°-B≤180°-30°

(A-C)/2<75°

45°-(A-C)/2>45°-75°

45°-(A-C)/2>-30°

所以:cosA+sinC>√(3)*sin(-30°)

cosA+sinC>-√(3)/2

综合以上,得: -√(3)/2<cosA+sinC≤√(3)

Answer 5

（√3/2，√3] 根据三角函数的公式自己想吧，，加油