Question

若三角形ABC三边为a b c符合等式a^3+b^3+c^3=3abc，判断三角形的形状并说明

Answer 1

解答：
∵由公式：﹙a＋b＋c﹚﹙a²＋b²＋c²－ab－bc－ca﹚=a³＋b³＋c³－3abc，
即：原式变形得：a³＋b³＋c³－3abc
=½﹙a＋b＋c﹚﹙a²－2ab＋b²＋b²－2bc＋c²＋c²－2ca＋a²﹚
=½﹙a＋b＋c﹚[﹙a－b﹚²＋﹙b－c﹚²＋﹙c－a﹚²]=0，
∵a＋b＋c＞0，
∴﹙a－b﹚²＋﹙b－c﹚²＋﹙c－a﹚²=0，
三个非负数的和=0，则每一个数都=0，
∴a－b=0，b－c=0，c－a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边△。

Answer 2

这是一个等边三角形。　证明如下：
方法一：
∵a^3＋b^3＋c^3＝3abc，
∴a^3＋b^3＋c^3－3abc＝0，
∴（a＋b＋c）（a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ac）＝0。
在△ABC中，显然有：a＋b＋c＞0，∴a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ac＝0，
∴2（a^2＋b^2＋c^2－ab－bc－ac）＝0，
∴（a^2－2ab＋b^2）＋（a^2－2ac＋c^2）＋（b^2－2bc＋c^2）＝0，
∴（a－b）^2＋（a－c）^2＋（b－c）^2＝0，
∴a－b＝0、a－c＝0、b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形。

方法二：
在△ABC中，显然有：a、b、c都是正数，
∴a^3＋b^3＋c^3≧3［（a^3）（b^3）（c^3）］^（1/3）＝3abc。
而等号成立的条件是：a＝b＝c。∴△ABC是等边三角形。

Answer 3

对任意A,B,C>0，都有：
A^3+B^3+C^3>=3ABC
当且仅当A=B=C时等号成立
所以△ABC是等边△

Answer 4

因为a^3+b^3+c^3=3abc所以(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0,所以2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0所以(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0所以a=b..b=c,,a=c所以a=b=c,所以三角形ABC是等边三角形