Question

已知：△ABC内接于圆O，过点A作直线EF。若直线AB是非直径的弦,∠CAE=∠B，求证:EF是圆O的切线.

Answer 1

连OA,并延长交⊙O于点D,AD为直径，连结CD
∵∠ACD=90°
∴∠D+∠CAD=90°
∵同弧所对的圆周角相等
∴∠ EAC=∠ ABC=∠D
∴∠EAC +∠CAD=90°
∴EF与⊙O切于点A

Answer 2

连结AO并延长交⊙O于点D,连结CD
∵∠ACD=90°
∴∠D+∠CAD=90°
∵∠ EAC=∠ ABC=∠D
∴∠EAC +∠CAD=90°
∵点A在⊙O上
∴EF与⊙O切于点A

Answer 3

连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，

则AD为⊙O的直径，∴∠D+∠DAC=90°。

∵∠D与∠B同对弧AC，∴∠D=∠B，

又∵∠CAE=∠B，∴∠D=∠CAE，

∴∠DAC+∠EAC=90°，

∴EF是⊙O的切线。

Answer 4

(1)①∠CAE＝∠B，②AB⊥EF，③∠BAC＋∠CAE＝90°，

④∠C＝∠FAB，⑤∠EAB＝∠FAB，供参考．

(2)证明：连结AO并延长AO交⊙O于H，连结HC．

∴∠H＝∠B．

∵AH是直径，∠B＝∠CAE．

∴∠CAE＋∠HAC＝90°．

∴HA⊥EF．

∴EF是⊙O的切线．