Question

如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的

点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B（-l，2），D（3，0）．连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有|QE-QC|最大？并求出最大值．

Answer 1

1.易求：
DM斜率为：-2/3，
则：ON方程为:y=：-2/3*x
N(-1,2/3)
由题意：D（3，0），M（0，2），代入求解。
2.可设C（m，2），BC与y轴相交于点M，可知m>0
题意得直线AC斜率，AC中点Q可表示为：（2分之（m-1），1）
PA=PC 则PQ⊥CA，可表示出直线PQ方程
与抛物线方程联立，求△，由约束条件m>0，看△与0的关系。
3.可求出E坐标
当QEC为三角形时， |QE-QC|< 最大值为EC，当且仅当Q为直线EC与对称轴交点时。
求即可。

只提供思路，自己动手解。

Answer 2

解：作PG⊥OC于G、BM⊥OA于M、PN⊥OA于N，延长NP交CB于H，得PG∥ON，BM∥PN，PH⊥BC．
（1）∵当点P运动至AB的中点时，
∴AP=BP，CG=OG，
∴PG= 12（CB+OA）=9，PN= 12BM=4，
∴点P坐标为（9，4）；
（2）∵BM=8，AM=6，
∴AB=10，
又∵BM⊥PN，
∴△MBA∽△NPA，
可得AN= 35t，PN= 45t，
若QP⊥CQ，则应有△OCQ∽△NQP，
∴ 2t45t= 812-35t-2t，
得t= 4413（秒），
当t= 4413s时，QP⊥CQ；
（3）设△CPQ的面积为S，
S=S梯形ABCD-S△OCQ-S△AQP-S△PCB
=72- 12×8×2t- 12（12-2t） 45t- 12×6×（8- 45t）
= 45t2- 525t+48
= 45(t-132)2+ 715
∵0＜t≤6，
∴当t=6s时，△CPQ的面积取得最小值为 725．