Question

如图，三角形ABC是等边三角形，D在边AC上，E在边AB的延长线上，且BE=CD,连接DE交BC所在的直线于点F。

（1）求证：DF=EF
（2）若三角形ABC的边长为b，且a、b满足a²+b²-10a-6b+34=0 求BF的长
（3）若三角形ABC的边长为5，设CD=x，bf=y，求y与x间的函数关系式

Answer 1

（1）证明：过D作DM∥AB交BC于M，
可知△CDM是等边三角形，DM=CD=BE，由∠DMF=∠EBF
∠MDF=∠E △DMF≌△EBF 故：DF=EF
（2）a²+b²-10a-6b+34=0
a²-10a+25+b²--6b+9=0
（a-5）²+（b-3）²=0
a=5，b=3
BE=3=CM BM=2 故：BF=1
（3）若三角形ABC的边长为5，设CD=x，bf=y，
BC=5 CM=CD=x bf=mf=y 故：x+2y=5
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追问

若将原题中“D在边AB的延长线上改为”动点D在直线AC上（但不在线段AC上），动点E在射线AB上“其它条件不变，（3）中的条件不变，画图并解答（3）中的问题

Answer 2

过D做DM拍AB与BC交与M
△CDM是等边三角形
CD=DM=BE
△DMF≌△BFE
DF=FE、BF=FM
(2)a²+b²-10a-6b+34=0
a²-10a+25+b²--6b+9=0
（a-5）²+（b-3）²=0
a=5，b=3
BE=3=CM BM=2
BF=1
（3）CM=CD=x
BM=5-x
y=1/2（5-x）

追问

若将原题中“D在边AB的延长线上改为”动点D在直线AC上（但不在线段AC上），动点E在射线AB上“其它条件不变，（3）中的条件不变，画图并解答（3）中的问题

Answer 3

（1）证明：过D作DM∥AB交BC于M，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴△CDM为等边三角形，
∴CD=DM，
又∵BE=CD，
∴DM=BE，
而DM∥BE，
∴∠FDM=∠E，∠DMF=∠FBE，
∴△FDM≌△FEB，
∴DF=EF；
（2）三角形ABC的边长为a，BE的边长为b,且a.b满足a的平方+b的平方-10a-6b+34=0,
求BF的长 。a"+b"-10a-6b+34=0 a"-10a+25+b"-6b+9=0 (a-5)"+(b-3)"=0
a=5 b=3 BF=(5-3)/2=1 因为 bc=5 CG=3 BF=(BC-CG)/2 BF=1
（3）解：由（1）得△FDM≌△FEB，
∴MF=BF=y，
而CM=CD=x，
∴x+y+y=5，
∴y= 12x- 52（0＜x＜5）．