Question

设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(-1)=0且x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0.则f(x)*g(x)<0解集

要有详细的过程啊！

Answer 1

解：F(x)=f(x)*g(x)是奇函数
x<0时，
F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0
所以 F(x)在(-∞,0)上是增函数
x<0时，F(x)<0,即 F(x)<F(-1)所以 x<-1
F(1)=-F(-1)=0
x>0 时，F(x)<0，即 F(x)<F(1),-F(-x)<-F(-1),F(-x)>F(-1) ,-x>-1,所以 0<x<1

综上，f(x)*g(x)<0解集为(-∞，-1）U(0,1)

Answer 2

[f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，即在x<0时f(x)*g(x)单调增
由题g(-1)=0即-1是f(x)*g(x)的一个零点，所以（-∞，-1）上f(x)*g(x)<0
设y>0,x=-y则f(y)*g(y)=f(-x)*g(-x),又因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数
故f(y)*g(y)=f(-x)*g(-x)=-f(x)*g(x)
[f(y)*g(y)]'=[-f(x)*g(x)]'=-[f(x)*g(x)]'<0,即在x>0时f(x)*g(x)单调减
由题g(x)是偶函数，故g(-1)=g(1)=0,所以（1,+∞）上f(x)*g(x)<0
综上所述，f(x)*g(x)<0解集为（-∞，-1）并上（1,+∞）

Answer 3

原题是有问题的：设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则设F（x）=f （x）g（x）为定义在R上的奇函数，有F(0)=0,又g(-1)=0，所以F（-1）=f （-1）g（-1）=0，又当X<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，故当X<0时F(x)，单调递增，这与F(0)=F(-1)=0矛盾。

Answer 4

x>0为其解集。