Question

初中数学·函数题：如图，在平面直角坐标系中RT△AOB的定点坐标分别为A（-2，0），O（0.0）B（0，4）

把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD
（1）求C,D坐标
（2）求经过A，B，D三点的抛物线解析式
（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E,F（E在F上方），且EF=1，当E,F在什么位置时，四边形ACEF的周长最小？并求出最小值。

（其实就是第三小题做不起，所以请好好讲一下。谢谢！）

Answer 1

（1）、由题意可得：C(0,2)，D(4,0)
（2）、设抛物线解析式：y=ax ^2+bx+c ，将A、B、D三点坐标代入即得抛物线解析式：
y=-1/2x ^2+x+4
（3）、在四边形ACEF中，AC、EF固定，所以只要AF+CE为最小，即是四边形ACEF的周长最小。由（2）中可知抛物线的对称轴是x=1，将点A向上平移至A1（-2，1），则AF=A1 E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），连接A2 C，A2 C与对称轴交于点E，此时A2E
+CE的值是最小的即是A2C，A2E=A1E=AF，即是AF+CE为最小。
由题意可得A2C=√17，四边形ACEF的周长=AC+A2C+EF=2√2+√17+1

Answer 2

（1）由于抛物线的对称轴是x=3，可设抛物线的解析式为顶点式，即设y=a（x-3）2+k，又抛物线抛物线经过B（0，2），C（2，0），用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）如果设对称轴与x轴的交点为N，那么S四边形PCBD=S△BCD+S△pCD，根据三角形的面积公式即可求出四边形PCBD的面积；
（3）首先根据△MDC的面积等于四边形PCBD的面积 ，求出M点的纵坐标的绝对值，再由M点在抛物线y= x2- 上，求出对应的x的值，进而得出点M的坐标．解答：（1）由题意得：B（0，2），C（2，0），对称轴x=3，
设抛物线的解析式为y=a（x-3）2+k，
∵抛物线抛物线经过B（0，2），C（2，0），
∴2=9a+k，0=a+k（2分）
解得：a= ，k=- ，
∴y= （x-3）2- ，
∴抛物线的解析式为y= x2- ；

（2）设对称轴与x轴的交点为N，
由图可知：CD=2，
S△BCD= •CD•OB= ×2×2=2，
S△pCD= CD•PN= CD•|Py|= ×2× = ，
∴S四边形PCBD=S△BCD+S△pCD=2+ = ；

（3）假设存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积 ．
即：S△MCD= S四边形PCBD，
CD•|My|= × ，
|My|= ，（6分）
又∵点M在抛物线上，
∴| x2- |= ，
∴ x2- =± ，
∴x2-6x+8=±3，
∴x2-6x+5=0或x2-6x+11=0，
由x2-6x+5=0，
得x1=5，x2=1，
由x2-6x+11=0，
∵b2-4ac=36-44=-8＜0，
∴此方程无实根．
当x1=5时，y1= ；当x2=1时，y2= ．
∴存在一点M（5， ），或（1， ）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积 ．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

Answer 3

(1)C（0，2），D（4，0）
(2)y=-1/2x²+x+4
(3)即AF+CE最小
抛物线对称轴；直线X=1
将点A向上平移至A1（-2，1），则AF=A1 E
作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1）
连接A2 C，A2 C与对称轴交于点E，E为所求
可求得A2C的解析式为y=-1/4x+2
将x=1代入y=-1/4x+2得 y=7/4
∴E(1，7/4) F(1，3/4)

Answer 4

麻烦、、、 你算出来了前2小题就说下结果、 免得 还要我们在算一遍、唉 不用看也知道前2问跟第三问有关、 好吧给你稍微想想

追问

额...我计算不好....所以不太自信结果。麻烦了。

追答

（1）根据旋转的性质可以知道 两个三角形的对边与对角都相等
∴点D（4，0） 又∵ OA=OC ∴点C（2，0）
（2）将ABD的坐标代入函数解析式y=ax²+bx+c中得
函数解析式y=-0.5x²+x+4
（3）抛物线 y=-12x2+x+4的对称轴为x=1，将点A向上平移至A1（-2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求．
∴只需求AF+CE最短，（上面是解题思路）
抛物线 y=-12x2+x+4y=-12x2+x+4的对称轴为x=1，
将点A向上平移至A1（-2，1），则AF=A1E，
作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），
连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，
可求得A2C的解析式为 y=-1/4x+2，
当x=1时， 代入y=-1/4x+2得y=7/4，
∴点E的坐标为 (1，7/4)，点F的坐标为 (1，3/4)．

此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及轴对称的应用，此题比较典型也比较基础，使四边形ACEF的周长最小，即求AF+CE最短，是解决问题的关键．

Answer 5

(1) C(0,2)D(4,0)
(2)y=-1/2(x+2)(x-4)
(3)图是不是画错了，20天后给你答案（我要上课)SORRY

追问

亲，图没错。20天问题都到期了==+